FreeDesktop в поле Exec= вызывает саму программу, а не указанную Вами конструкцию на Bash. Если хотите вызвать с переменой среды окружения, то пропишите:

Exec=bash -с "DRIPRIME=1 chromium %U"

прописал, но никакого результата нет.

Пробовал и с DRI_PRIME, но заметил, что при параметре bash -с "DRIPRIME=1 chromium %U", браузер вроде пытается завестись, так как появляется в нижней панели, и через несколько секунд пропадает. Сейчас на форуме пытаюсь решить, если будет решение отпишусь в багрепорт, но всё больше понимаю, что скорее всего это баг, так как не только с браузером это происходит.

bash -c "DRI_PRIME=1 chromium" %U с таким параметром запустилось.