% Материалы для курсовой
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\title{Расчет состояний атома гелия}
\author{Станислав Иевлев}

%общие определения
\let\vect = \overrightarrow
\let\f = \varphi
\begin{document}
\maketitle

\section{Теоретические основы}
\paragraph{Математический аппарат квантовой механики}
Свойства квантовых объектов описываются с помощью волновой
функции. Волновая функция является комплексной, однозначной и
непрерывной функцией радиус-вектора частицы  $r$ и времени $t$.
\begin{gather}
\label{wave} \Psi=\Psi(\vect{r},t) \\
\label{vector_func} \vect{r}=\vect{r}(x,y,z)
\end{gather}
Подставив в выражение ~(\ref{wave}) вектор-функцию ~(\ref{vector_func}), волновую функцию можно
записать в виде $\Psi=\Psi(x,y,z,t)$.
Квадрат модуля волновой функции взятый в точке $(x,y,z)$ в момент
времени t, умноженный на элементарный объем
$\triangle x\triangle y\triangle z$, 
включающий эту точку дает вероятность того, что в момент времени t мы обнаружим частицу в этом объеме.
Если дополнительно выполнено условие нормировки
$\int\limits_V|\Psi(x,y,z,t)|^2\,dx\,dy\,dz=1$, то квадрат модуля
может быть назван плотностью вероятности.
Вся работа производится в линейном пространстве функций. Скалярное
произведение определено следующим образом:
\begin{equation}
\label{scal} \langle{f,g}\rangle=\int f(r)^*g(r)\,dr
\end{equation}
где $x^*$ операция комплексного сопряжения
Каждой физической величине соответствует некоторый линейный
оператор.
Среднее значение физической величины, заданной оператором L
вычисляется по формуле
\begin{equation}
\label{avg} \langle{f}\rangle=\int\psi^*(r)L\psi(r)\,dr
\end{equation}
, где $\psi$ - нормированная волновая функция
%TODO: написать еще про нормировку на бесконечности по дельта-функции
 А состояние частицы описывается уравнениями, содержащими
операторы. Решение такого уравнения - волновая функция. Вот несколько
основных операторов физических величин:\\
\begin{tabular}
 {|l|l|l|}
  \hline Физ. величина & Формула & Оператор \\
  \hline Координата & 
   $\begin{cases}
    r \\
    x,y,z \\
   \end{cases}$ &
   $\begin{cases}
    r  \\
    x,y,z
   \end{cases}$ \\
  \hline Импульс &
   $\begin{cases}
    {\bf p} \\
     p_x, p_y, p_z \\
   \end{cases}$ &
   $\begin{cases}
    -i\hbar\nabla \\
    -i\hbar\frac{\partial }{\partial x},-i\hbar\frac{\partial}{\partial y},-i\hbar\frac{\partial }{\partial z} 
   \end{cases}$ \\
   \hline Угловой момент&
   $\begin{cases}
    L=[r\times p] \\
    L_x=yp_z-zp_y\\
    L_y=zp_x-xp_z \\
    L_z=xp_y-yp_x
   \end{cases}$ &
   $\begin{cases}
    \hat{L}=-i\hbar[r\times\nabla] \\
    \hat{L}_x=-i\hbar(y\frac{\partial }{\partial
    z}-z\frac{\partial}{\partial y}) \\
    \hat{L}_y=-i\hbar(z\frac{\partial }{\partial
    x}-x\frac{\partial}{\partial z}) \\
    \hat{L}_z=-i\hbar(x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial z})
   \end{cases}$ \\
   \hline Полная энергия &
    $E=\frac{p^2}{2m}+U(r)$ &
    $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle+U(r)$ \\
   \hline
\end{tabular}\\
В таблице $\triangle=\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial
  x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial
  x^2}$ - оператор Лапласа (лапласиан). Оператор энергии $\hat{H}$
  называется также гамильтониан.
\end{document}
