Версия пакета:
php8.2-fpm-fcgi-8.2.2-alt1

Файл сокета создаётся с правами root root:
# l /var/run/php8.2-fpm/php8.2-fpm.sock 
srw-rw---- 1 root root 0 фев 14 10:52 /var/run/php8.2-fpm/php8.2-fpm.sock

В логах nginx ошибка:
==> /var/log/nginx/error.log <==
2023/02/14 11:20:41 [crit] 11916#11916: *1 connect() to unix:/var/run/php8.2-fpm/php8.2-fpm.sock failed (13: Permission denied) while connecting to upstream, client: 127.0.0.1, server: example.com, request: "GET /fpm-fcgi-test.php HTTP/1.1", upstream: "fastcgi://unix:/var/run/php8.2-fpm/php8.2-fpm.sock:", host: "localhost"

Проблема решается, если в файле /etc/fpm8.2/php-fpm.d/www.conf раскомментировать строки:
;listen.owner = _php_fpm
;listen.group = _webserver