Ну браузер есть в самом wine:

$ wine iexplore http://mail.ru

Пинг из-под пользователя в этой версии вряд ли работает, ну а с сетью скорее всего проблема с разыменованием адресов. Скорее всего, надо поставить ещё пакет
i586-glibc-nss

Вот это да, прошу прощения, не увидел ответ, написал сначала в рассылку, хотел продублировать сюда и увидел это.
Поставил пакет  glibc и всё заработало. Спасибо.

Интересно, возможно ли протащить такую зависимость через arepo...

(В ответ на комментарий №3)
> Интересно, возможно ли протащить такую зависимость через arepo...
Некоторых зависимостей и в 32-битном варианте нет. Внёс в 1.3.37-alt2
Посмотрим, видимо они сейчас обрежутся как-то при конвертации.

(В ответ на комментарий №1)
 Скорее всего, надо поставить ещё пакет
> i586-glibc-nss 

А у меня и i586-glibc-nss установлен, а iexplore в инет не ходит. Когда наберу адрес и надавлю Enter, в консоли получаю: 
fixme:urlmon:URLMoniker_BindToObject use running object table
fixme:ieframe:handle_navigation_error Navigate to error page
fixme:ieframe:bind_to_object BindToObject failed: 800401e4

P.S. А в виртуалбоксе 32-разрядный сизиф и с вайном и инетом проблем нет.

Проверьте на wine 1.5.5 + wine-gecko 1.5, пожалуйста

(В ответ на комментарий №6)
> Проверьте на wine 1.5.5 + wine-gecko 1.5, пожалуйста

Ой, нет у меня сизифа. Есть branch p6. Ну и соответственно нет wine 1.5.5. Есть
$ rpm -qa | grep wine-
libwine-vanilla-1.4.0-alt0.M60P.1
i586-wine-vanilla-1.4.0-alt0.M60P.1
wine-gecko-1.4-alt0.M60P.1
libwine-vanilla-gl-1.4.0-alt0.M60P.1
i586-libwine-vanilla-1.4.0-alt0.M60P.1

Так, вот iexplore говорит, что не может найти Gecko и предлагает установить. И в инет не ходит. 
А вот Opera 11.64 Сборка 1403 отлично в инет ходит.

(В ответ на комментарий №7)
...
> libwine-vanilla-1.4.0-alt0.M60P.1
> i586-wine-vanilla-1.4.0-alt0.M60P.1
> wine-gecko-1.4-alt0.M60P.1
Нужен i586-wine-gecko

(В ответ на комментарий №8)

> Нужен i586-wine-gecko

$ apt-repo
rpm ftp://ftp.linux.kiev.ua/pub/Linux/ALT/p6/branch/ x86_64 classic
rpm ftp://ftp.linux.kiev.ua/pub/Linux/ALT/p6/branch/ x86_64-i586 classic
rpm ftp://ftp.linux.kiev.ua/pub/Linux/ALT/p6/branch/ noarch classic

$ apt-cache search  i586-wine-gecko

$ apt-cache search  i586-wine
i586-wine - Environment for running Windows applications (Etersoft edition)
i586-wine-doors - One-click Windows package manager / wine frontend
i586-wine-vanilla - Wine - environment for running Windows 16/32/64 bit applications

$ apt-cache search gecko
browser-plugins-npapi - Netscape Gecko Plug-in API common files
browser-plugins-npapi-devel - Netscape Gecko Plug-in API common packaging files
chmsee - A GTK+2 based CHM viewer
gecko-mediaplayer - Дополнение для браузера - Gecko Media Player
libgecko-sharp2 - Gecko bindings for Mono
libgecko-sharp2-devel - Development files libgecko-sharp2
libgluezilla - Glue library for Winforms Web Control
monodoc-browser-gecko - Gecko render for monodoc-browser
orca - Программа экранного доступа для людей с ограничениями по зрению
wine-gecko - Custom version of Mozilla's Gecko Layout Engine for Wine
rpm-build-browser-plugins - Netscape Gecko Plug-in API common packaging files
xulrunner - XUL Runner
i586-gecko-mediaplayer - Gecko Media Player browser plugin
i586-libgecko-sharp2-devel - Development files libgecko-sharp2
i586-libgluezilla - Glue library for Winforms Web Control
i586-xulrunner - XUL Runner
libgecko-sharp2-doc - Development documentation for gecko-sharp-2.0

Отсутствует i586-wine-gecko

Наблюдаю t6/branch/x86_32/RPMS.classic/i586-wine-gecko-1.4-alt0.M60P.1.i586.rpm

(В ответ на комментарий №10)
> Наблюдаю t6/branch/x86_32/RPMS.classic/i586-wine-gecko-1.4-alt0.M60P.1.i586.rpm

Установил. Ничего не поменялось.

Потом что-то в голову стукнуло. Сделал "winetricks  ie7"

И вот ie7 пошел в итернет.

(In reply to comment #9)

> Отсутствует i586-wine-gecko

на всякий случай, Bug 28223

Закрываю: надо поставить пакет
i586-glibc-nss