замечено, что некоторые DE кладут нужный файл в /usr/share/xsessions/, например icewm-session.desktop
Попутно вызывает сомнение файл /usr/share/applications/awesome.desktop
С другой стороны, возможно xinitrc должен что-то конвертировать из имеющегося /etc/X11/wmsession.d/05awesome

Lightdm теперь берёт описание сеансов только из /usr/share/xsessions/, костыли prefdm больше в нём не поддерживаются.

(В ответ на комментарий №2)
> Lightdm теперь берёт описание сеансов только из /usr/share/xsessions/, костыли
> prefdm больше в нём не поддерживаются.

Я вижу в предлагаемых сеансах Lightdm icewm, i3, awesome, хотя файл в /usr/share/xsessions/ кладёт только первый из них.

Вообще, не могу воспроизвести проблему на Lightdm.

@evg, видимо, у Вас изменённый файл /etc/lightdm/lightdm.conf
в дистрибутивном есть такая строчка:
> sessions-directory=/usr/share/lightdm/sessions:/usr/share/xsessions

awesome-4.3-alt3 -> sisyphus:

Sat Jun 01 2019 Terechkov Evgenii <evg@altlinux> 4.3-alt3
- Add /usr/share/xsessions/awesome.desktop (ALT#36830)