Как воспроизвести: при установленном, включенным в настройках java плагине идем по ссылке http://www.java.com/en/download/installed8.jsp. Выделяется место на экране под апплет, но сама java не стартует (в том числе не открывается окно java-console - у меня настроено открытие консоли java при запуске java апплетов). На предыдущей версии firefox-esr все работало нормально. Если вместо firefox-esr установить свежий firefox (версия 46.0) то java тоже полностью работоспособна.
firefox-esr-45.1.1-alt0.M70P.1 mozilla-plugin-java-1.6.0-sun-1.6.0.26-alt7 На http://www.oracle.com/technetwork/java/example1-136243.html всё работает.
Я не проверял на 1.6. Я проверял на актуальной oracle-java (рабочая система, 64бит) java version "1.8.0_91" Java(TM) SE Runtime Environment (build 1.8.0_91-b14) Java HotSpot(TM) 64-Bit Server VM (build 25.91-b14, mixed mode) и на актуальной openjdk из репозитория p8 openjdk version "1.8.0_71" OpenJDK Runtime Environment (build 1.8.0_71-b15) OpenJDK Server VM (build 25.71-b15, mixed mode) виртуалка, 32bit в обоих случаях работает на старом esr, работает на 46-м firefox, и не работает на 45-м esr
В сборке firefox-esr-45.1.1-alt2 java работает нормально. По крайней мере Oracle Version 8 Update 91