Меняем кавычки
#!/bin/sh

export target1='up_exp_target'
target2='up_target'
su -c 'export target3="down_exp_target"
target4="down_target"
who
echo $target1
echo $target2
echo $target3
echo $target4' root

и вуаля - 1,3 и 4 видятся внутри su
баг переместил на интерпретатор

Прошу предоставить дополнительную информацию
* uname -a
* cat /etc/os-release
* apt-repo

Created attachment 12790 [details]
info

Произвел тестирование на платформе, обновленной до Sisyphus:
* p10-workstation-10.1-x86-64

Версия пакета:
* sh-4.4.23-alt1

Шаги воспроизведения:
1. создать файл скрипта проверки:
$ vim test.sh 
с текстом
#!/bin/sh
export target1='up_exp_target'
target2='up_target'
su -c "export target3='down_exp_target'
target4='down_target'
who
echo $target1
echo $target2
echo $target3
echo $target4
who" root
2. Запустить скрипт:
$ bash test.sh
3. Создать другой файл с другими кавычками:
$ vim test1.sh 
с текстом
!/bin/sh

export target1='up_exp_target'
target2='up_target'
su -c 'export target3="down_exp_target"
target4="down_target"
who
echo $target1
echo $target2
echo $target3
echo $target4' root


Фактический результат:
Вывод в терминал test1.sh 
up_exp_target

down_exp_target
down_target

Ожидаемый результат:
Вывод в терминал test1.sh 
up_exp_target
target3 и target4 выводятся от пользователя su-

Выполняю скрипт
#!/bin/sh
echo $pluscolor 'Настройка avachi' $nocolor
target=/etc/avahi
su -l -c "export avahidomain=$(hostname -s | cut -b 1-8)
        echo ${avahidomain}" root

В ответ получаю пустую строку

sh всё делает правильно, в строгом соответствии с документированной семантикой этих двух типов кавычек.

(In reply to Pavel Shilov from comment #2)
> Прошу предоставить дополнительную информацию
> * uname -a
> * cat /etc/os-release
> * apt-repo

Пожалуйста, такие сообщения надо закрывать, а не перевешивать.  Здесь занимаются ошибками, а не ликбезом.